积分运算基本技巧（一）——三角换元

三角换元的本质

三角换元的本质是利用两个三角恒等式$sin^2x + cos^2x = 1$，$1 + tan^2x = sec^2x$进行换元，针对如$\sqrt{a^2 - x^2}$的形式，可起到消去根号的作用。具体来说：

对于$\sqrt{a^2 - x^2}$的形式，令$x=asint$或$x=acost$，即对应$1-sin^2x=cos^2x$或$1-cos^2x=sin^2x$

对于$\sqrt{a^2 + x^2}$的形式，令$x=atanx$，即对应$1+tan^2x=sec^2x$

对于$\sqrt{x^2 - a^2}$的形式，令$x=asecx$，即对应$1-sec^2x=tan^2x$

辅助三角形

下面通过一道例题引出本小节内容

\begin{flalign} & \text{例1} \quad \text{求不定积分}\int \sqrt{a^2 - x^2} dx & \nonumber \end{flalign}

解:

\begin{flalign} & 令x=a\sin t,-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}，则\sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}=a\cos t,d x=a\cos t d t & \nonumber \\ & 则原积分化为\int\sqrt{a^{2}-x^{2}}d x=\int a\cos t\cdot a\cos t d t=a^{2}\int\cos^{2}t d t = \frac{a^{2}}{2}t+\frac{a^{2}}{2}\sin t\cos t+C & \nonumber \end{flalign}

此时，需要将积分还原为$x$的积分，注意到，此时结果中出现了$cost$，在其他题目中，还可能出现$tant,sect$等，将这些值计算出来就需要用到辅助三角形，通过$x=asint$即$sint=\frac{x}{a}$，可以画出辅助三角形

从上述辅助三角形可以看出，$\cos t=\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a}$，故积分结果为

$$\int\sqrt{a^{2}-x^{2}}d x=\frac{a^{2}}{2} \arcsin\frac{x}{a}+\frac{1}{2}x\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C$$

其他可以使用三角换元的情况

三角换元无需拘泥于上述三种情况，对于被积式中出现$a^{2}-x^{2}$的情况，如$(a^{2}-x^{2})^2$，均可以尝试使用三角换元

\begin{flalign} & \text{例2} \quad \text{求不定积分} \int\frac{2+x}{(1+x^{2})^{2}}d x & \nonumber \end{flalign}

解：

\begin{flalign} & 令x= \tan x,-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}，d x=\sec^2 t d t & \nonumber \\ & 则原积分化为\int\frac{2+\tan t}{\sec^{4}t}\sec^{2}t d t=\int2\cos^{2}t+\sin t\cos t d t = \frac{1}{2}\sin2t+t+\sin^{2}t+C& \nonumber \\ & =\sin t\cos t+t+\sin^{2}t+C & \nonumber \\ & 根据辅助三角形\sin t = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}},\cos t = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}},得\int\frac{2+x}{(1+x^{2})^{2}}d x = \frac{x^2 + x}{x^2 + 1} + \arctan x & \nonumber \end{flalign}